PRODUTOS NOTÁVEIS

Produtos notáveis, como o próprio nome já diz, significa produto (multiplicação)
notáveis (que se destacam). Eles são a nata das multiplicações...são as
multiplicações mais famosas da matemática...são realmente muito notáveis!
O único problema, como dissemos, é que às vezes eles aparecem e a gente nem
nota!...

Vejamos um destes produtos notáveis: (a + b )2

Este produto notável, a gente chama assim: "quadrado da soma", e sempre que
a gente vê ele no meio de uma expressão, a gente pode substituí-lo
por a2 + 2ab + b2 . Isto significa que ( a + b ) 2 = a2 + 2ab + b2 .

" Quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo".

Nós sabemos que para calcular um coisa ao quadrado basta multiplicar
esta coisa por ela mesma não é isso ? Exemplo: 32 = 3.3 que é igual a 9, certo ?

Então calcular (a + b )2 será (a+b) vezes (a+b), certo ? certo! Aplicando
a propriedade distributiva da multiplicação, temos:

(a+b).(a+b) = a.a + a.b + b.a + b.b
(a+b).(a+b) = a2 + 2.(a.b) + b2
Então é verdade que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Existem três produtos notáveis que você não pode deixar de notar.
O primeiro deles a gente acabou de conhecer. Os outros dois a gente vai ver agora,
em seguida.

O segundo produto notável que a gente precisa conhecer (antes das provas,
é claro), é bem parecido com o primeiro. Veja: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

A diferença deste para o anterior é o sinal de menos. Então tudo o que vimos para o
anterior vale também para este aqui!

O terceiro produto notável é chamado produto da soma pela diferença. Veja:
( a + b ) ( a - b).
Este é muito fácil de se calcular. Basta multiplicar. O importante é você saber
que neste caso o resultado será o quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado
do segundo termo (b). Veja:

( a + b ) ( a - b) = a.a - a.b + b.a - b.b
( a + b ) ( a - b) = a2 - 0 - b2
( a + b ) ( a - b) = a2 - b2

PROBLEMA 2

Há 10 litros de vinho em 3 vasilhas, com capacidades iguais a 5 litros, 3 litros e 7 litros, respectivamente. A primeira contem 4 litros de vinho, a segunda está vazia e a terceira contem 6 litros de vinho.
Como se pode repartir em duas partes iguais o vinho, usando apenas estas três vasilhas?

PROBLEMA 1

Dinheiros iguais: Uma pessoa falou com a outra: "Se você me der R$1,00, eu terei o dobro do que você tem". Então o outro disse: "Se você me der R$1,00, teremos dinheiros iguais". Quanto tinha cada um?

O que é Álgebra?

Ilustração - livro didático da Editora Moderna.
Matemáticos que ajudaram a desenvolver a álgebra.
Da esquerda para a direita, Euclides (séc. III a.C.), Diofante (séc. III d.C.),
Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi (séc.IX d.C.) e François Viète (séc. XVI d. C.).

ÁLGEBRA

Considerada como um sistema para resolver problemas matemáticos que envolvam números desconhecidos, a álgebra remonta à Antigüidade.

Os egípcios já lidam com este tipo de problema no século XVII a.C., mas seus enunciados mais parecem enigmas ou adivinhações do que equações matemáticas. Chineses e indianos também trabalham com equações algébricas. Os gregos e, depois, os árabes simplificam e aperfeiçoam os métodos de cálculo. No entanto, a álgebra só começa a se constituir como um ramo específico da matemática no Renascimento e desenvolve-se plenamente apenas na Europa moderna e contemporânea.

Origem da palavra Álgebra
A palavra álgebra deriva da expressão árabe al-jabr (reunir), usada no título do livro al-jabr w'al-muqabalah, ou A arte de reunir desconhecidos para igualar uma quantidade conhecida, escrito no século IX por al-Kwarizmi, o mesmo matemático árabe que introduz o sistema decimal e os algarismos indianos no Ocidente. Começa a ser usada na Europa para designar os sistemas de equações com uma ou mais incógnitas a partir do século XI, quando a obra de al-Kwarizmi é traduzida para o latim.

Papiro de Rhind

Os problemas algébricos mais antigos hoje conhecidos datam do século XVII a.C. Estão registrados em um papiro descoberto em 1858 na cidade de Luxor, no Egito, por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Seus enunciados têm a seguinte forma: "Ah, seu inteiro, seu sétimo, fazem 19". Em álgebra moderna, a expressão pode ser traduzida por: x + x/7 = 19. O número desconhecido, ou incógnita, é representado por um símbolo, neste caso o x, manipulado até seu valor ser determinado. O intervalo de tempo transcorrido entre a escrita do Papiro de Rhind e a elaboração desta forma de apresentar as equações algébricas (x + x/7 = 19) é de 34 séculos.

Pai da Álgebra
Os elementos, de Euclides, já estabelecem algumas relações algébricas básicas e seus axiomas são indispensáveis para a solução das equações. No entanto, o chamado "pai da álgebra" é Diofante, matemático grego que vive em Alexandria no século IV d.C., o primeiro a usar sistematicamente símbolos para representar as incógnitas. Diofante é pioneiro na solução das equações indeterminadas, também chamadas de diofantinas, aquelas em que as informações não são suficientes para se obter uma resposta exata, mas permitem estabelecer uma relação entre os termos da equação.
Exemplo: Paulo recebe 2 moedas a mais do que 10 vezes as moedas recebidas por João. Quantas moedas Paulo recebe?
Em álgebra moderna, o problema pode ser traduzido por x = 10y + 2.
Este tipo de equação, ao ser aplicada pelos matemáticos modernos à análise dos números inteiros, produzirá um grande desenvolvimento da teoria dos números, um dos ramos da matemática pura.

Enigma da idade

Diofante, um célebre geômetra grego, está encerrado num túmulo que traz um problema. “Eis o túmulo que encerra Diofante – maravilha de se contemplar! Com artifício aritmético, a pedra ensina a sua idade. Deus concedeu-lhe passar a sexta parte de sua vida na juventude; um duodécimo, na adolescência; um sétimo, em seguida, foi escoado num casamento estéril. Decorreram mais cinco anos, depois do que lhe nasceu um filho. Mas este filho apenas tinha atingido a metade da idade do pai quando morreu. Quatro anos ainda mitigando a própria dor com o estudo da ciência dos números passou-os Diofante, antes de chegar ao termo de sua existência.” Conseguiria você desvendar a idade com que morreu o geômetra?